Lecture1-标架与自然标架的运动方程
Fu-Ming Chang Lv2
  2023-10-28 17:15:20 2023-10-28 17:15   2024-02-01 16:01:57    1.9k Words  10 Mins  

活动标架

标架起源于力学，比如，刚体运动时在刚体上建立的标架，刚体运动时，标架也会随之运动，得到一族依赖于时间tt的标架，刚体的运动可以用含参数tt的一族标架来表示。

首先是曲面上的活动标架的概念。设E3E^3的曲面SS的参数表示为r=r(u,v)\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)，参数曲面SS上的光滑的向量场x(u,v)\boldsymbol{x}(u,v)指对于SS上的任一点r(u,v)\boldsymbol{r}(u,v)，x(u,v)\boldsymbol{x}(u,v)是从点r(u,v)\boldsymbol{r}(u,v)出发的一个向量，并且x(u,v)\boldsymbol{x}(u,v)光滑的依赖(u,v)(u,v)。我们可以定义切向量场与法向量场。ru,rv\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v是曲面SS上的两个切向量场，自然的可以定义法向量场：

n=ru∧rv∣ru∧rv∣(1)\boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v|}\tag{1}

显然，ru,rv,n\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v,\boldsymbol{n}线性无关，所以{r(u,v);ru,rv,n}\{\boldsymbol{r}(u,v);\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v,\boldsymbol{n}\}构成以r(u,v)\boldsymbol{r}(u,v)为原点的E3E^3的一个标架，标架的全体称为参数曲面SS的自然标架。进一步，对于曲面SS上的活动标架是：以曲面SS上的点为原点的E3E^3的坐标系{r(u,v);x1(u,v),x2(u,v),x3(u,v)}\{\boldsymbol{r}(u,v);\boldsymbol{x}_1(u,v),\boldsymbol{x}_2(u,v),\boldsymbol{x}_3(u,v)\}，其中x1,x2,x3\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3是曲面SS上的线性无关的向量场，即[1](x1,x2,x3)≠0(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3)\neq0，一般要求(x1,x2,x3)>0(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3)>0。

正交标架的存在性：曲面SS的参数表示为r=r(u,v)\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)，对自然标架作Schmidt正交化有，

\begin{align*} \boldsymbol{e}_1 &=\frac{\boldsymbol{r}_u}{\sqrt{\left<\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_u\right>}}=\frac{\boldsymbol{r}_u}{\sqrt{E}}\tag{2}\\ \boldsymbol{e}_2 &=\frac{\boldsymbol{r}_v-\left<\boldsymbol{r}_v,\boldsymbol{e}_1\right>\boldsymbol{e}_1}{\left|\boldsymbol{r}_v-\left<\boldsymbol{r}_v,\boldsymbol{e}_1\right>\boldsymbol{e}_1\right|}=\frac{E\boldsymbol{r}_v-F\boldsymbol{r}_u}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}\tag{3} \end{align*}

得到的e1,e2\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2是曲面切平面的单位正交基。令，

e3=e1∧e2=ru∧rv∣ru∧rv∣=n(4)\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2=\frac{\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v}{\left|\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v\right|}=\boldsymbol{n}\tag{4}

那么{r;e1,e2,e3}\{\boldsymbol{r};\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}是SS的一个正交标架。同时选取变换A∈SO(3)A\in SO(3)，可得一系列的正交标架。

我们通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质。

自然标架的运动方程

设r=r(u,v)\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)是E3E^3的参数曲面，在曲面上的任意一点r(u,v)\boldsymbol{r}(u,v)都有自然标架{r;ru,rv,n}\{\boldsymbol{r};\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v,\boldsymbol{n}\}。为了方便，引入记号

u1=u,u2=v，即r=r(u1,u2);r1=ru,r2=rvgαβ=<rα,rβ>,α,β=1,2bαβ=<rαβ,n>=−<rα,nβ>\begin{aligned} & u^1=u,u^2=v，即\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u^1,u^2);\\ & \boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}_v\\ & g_{\alpha\beta}=\left<\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{r}_\beta\right>,\alpha,\beta=1,2\\ & b_{\alpha\beta}=\left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{n}\right>=-\left<\boldsymbol{r}_{\alpha},\boldsymbol{n}_\beta\right> \end{aligned}

根据曲面的第一基本形式与第二基本形式，可得g11=E,g12=g21=F,g22=G,b11=L,b12=b21=M,b22=Ng_{11}=E,g_{12}=g_{21}=F,g_{22}=G,b_{11}=L,b_{12}=b_{21}=M,b_{22}=N。另外记，

(gαβ)−1=gαβ,g=det⁡(gαβ),b=det⁡(bαβ)(5)(g_{\alpha\beta})^{-1}=g^{\alpha\beta},g=\det(g_{\alpha\beta}),b=\det(b_{\alpha\beta})\tag{5}

因为{r1,r2,n}\{\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2,\boldsymbol{n}\}是线性无关的，那么，

\begin{align*} \boldsymbol{r}_{\alpha\beta} &=\frac{\partial\boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}\boldsymbol{r}_{\gamma}+C_{\alpha\beta}\boldsymbol{n}\tag{6}\\ \boldsymbol{n}_{\alpha} &=\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\alpha}=D_{\alpha}^{\beta}\boldsymbol{r}_\beta +D_\alpha \boldsymbol{n}\tag{7} \end{align*}

其中Γαβγ,Cαβ,Dαβ,Dα\Gamma^\gamma_{\alpha\beta},C_{\alpha\beta},D_{\alpha}^{\beta},D_{\alpha}为待定系数。下面看一下这些系数的意义。将式(6,7)与法矢量n\boldsymbol{n}作内积，可得

\begin{align*} C_{\alpha\beta} &=\left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{n}\right>=b_{\alpha\beta}\tag{8}\\ D_\alpha &=\left<\boldsymbol{n}_{\alpha},\boldsymbol{n}\right>=-\left<\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}_{\alpha}\right>=0 \end{align*}

进一步的，将式(7)与rγ\boldsymbol{r}_\gamma作内积可得，

Dαβ<rβ,rγ>=<nα,rγ>⇒Dαβgβγ=−bαγ(9)D_\alpha^\beta\left<\boldsymbol{r}_\beta,\boldsymbol{r}_\gamma\right>=\left<\boldsymbol{n}_\alpha,\boldsymbol{r}_\gamma\right> \Rightarrow D_\alpha^\beta g_{\beta\gamma}=-b_{\alpha\gamma}\tag{9}

同乘gγξg^{\gamma\xi}，可得

Dαβgβγgγξ=−bαγgγξ⇒Dαξ=−bαξ(10)D_\alpha^\beta g_{\beta\gamma}g^{\gamma\xi}=-b_{\alpha\gamma}g^{\gamma\xi} \Rightarrow D_\alpha^\xi=-b^\xi_\alpha\tag{10}

其中[2]bαξ=bαγgγξb^\xi_\alpha=b_{\alpha\gamma}g^{\gamma\xi}。最后对于系数Γαβγ\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}，将式(6)与rξ\boldsymbol{r}_{\xi}作内积，

Γαβγgγξ=<rαβ,rξ>(11)\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}g_{\gamma\xi}=\left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{r}_{\xi}\right>\tag{11}

我们知道gαβ=<rα,rβ>g_{\alpha\beta}=\left<\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{r}_\beta\right>，所以对其求导可得，

\begin{align*} \partial_\gamma g_{\alpha\beta} &= \left<\boldsymbol{r}_{\alpha\gamma},\boldsymbol{r}_\beta\right>+\left<\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{r}_{\beta\gamma}\right> \tag{12}\\ \partial_\alpha g_{\beta\gamma} &= \left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{r}_\gamma\right>+\left<\boldsymbol{r}_\beta,\boldsymbol{r}_{\alpha\gamma}\right> \tag{13}\\ \partial_\beta g_{\alpha\gamma} &= \left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{r}_\gamma\right>+\left<\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{r}_{\beta\gamma}\right>\tag{14} \end{align*}

将式(13)+(14)-(12)，可得

<rαβ,rγ>=12(∂αgβγ+∂βgαγ−∂γgαβ)(15)\left<\boldsymbol{r}_{\alpha\beta},\boldsymbol{r}_\gamma\right>=\frac{1}{2}(\partial_\alpha g_{\beta\gamma}+\partial_\beta g_{\alpha\gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta})\tag{15}

代入到式(11)，

\begin{align*} \Gamma^\gamma_{\alpha\beta}g_{\gamma\xi} &= \frac{1}{2}(\partial_\alpha g_{\beta\xi}+\partial_\beta g_{\alpha\xi}-\partial_\xi g_{\alpha\beta})\\ \Gamma^\gamma_{\alpha\beta}&= \frac{1}{2}g^{\gamma\xi}(\partial_\alpha g_{\beta\xi}+\partial_\beta g_{\alpha\xi}-\partial_\xi g_{\alpha\beta})\tag{16} \end{align*}

可以看出，系数Γαβγ\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}由曲面的第一基本形式的系数以及他们的一阶导数完全确定。Γαβγ\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}被称为曲面的Christoffel符号。

我们已经将(6)(7)中的系数与曲面的第一基本形和第二基本形的系数联系起来了，也即，

\begin{align*} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\alpha} &= \boldsymbol{r}_\alpha \tag{17}\\ \frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta} &= \Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha\beta}\boldsymbol{n}\tag{18}\\ \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\alpha} &= -b^\beta_\alpha\boldsymbol{r}_\beta \tag{19} \end{align*}

方程(17-19)称为曲面SS的自然标架{r;r1,r2,n}\{\boldsymbol{r};\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2,\boldsymbol{n}\}的运动方程。

  1. 混合积：x1,x2,x3=<x1,x2∧x3>\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3=\left<\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\wedge\boldsymbol{x}_3\right>. ↩︎

  2. bαβb^\beta_\alpha代表Weingarten变换在基{r1,r2}\{\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2\}下的系数矩阵。 ↩︎

  1. 1. 活动标架
  2. 2. 自然标架的运动方程