附录C-共形变换

动机：理论上对时空的变换不能消除时空的奇点，但是我们可以将奇点的位置进行移动，确保在奇点在有限的位置，使得整个时空结构变得一目了然。共形变换不是坐标变换，但是他所导致的几何的改变实现了这种要求，参见【共形图】。

共形变换是局域的放缩变换。因为时空的距离是通过度规定义的，所以共形变换可以看作是对度规乘以一个时空依赖的函数：

$\bar{g}_{\mu\nu}=\omega^2(x)g_{\mu\nu}\iff \overline{ds}^2=\omega^2(x)ds^2,(\omega(x)\neq0,x\triangleq x^{\mu})\tag{1}$

同时$\bar{g}^{\mu\nu}=\omega^{-2}(x)g^{\mu\nu}$，共形变换的逆变换为$g_{\mu\nu}=\omega^{-2}(x)\bar{g}_{\mu\nu}$。可以看出：对于时空中的null的曲线$x^{\mu}(\lambda)$，在共形变换下是不变的。也就是说，曲线$x^\mu$对于度规$g_{\mu\nu}$是null，那么对于度规$\bar{g}_{\mu\nu}$也是null的。我们知道，如果曲线$x^\mu(\lambda)$是null等价于它的切矢量$dx^\mu/d\lambda$是null的，

$g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0\tag{2}$

在共形变换下，

$\bar{g}_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=\omega^2(x)g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0\tag{3}$

因此对于类光曲线，在某一个度规下是类光的，任意共形相关度规的定义下都是类光的。我们可以说共形变换保证光锥不变（共形变换是保角变换的一种，保证两个4-矢量间的角度不变）。

接下来考虑几何量在共形变换下如何改变。共形变换不是坐标的改变，【事实上是几何的改变——$\bar{g}_{\mu\nu}$的类时测地线，比如，$g_{\mu\nu}$的类时测地线不同于$\bar{g}_{\mu\nu}$的类时测地线】。同时，我们可以使用共形变换来改变动力学变量：任意有关$g_{\mu\nu}$的函数都可以被等价的写成$\bar{g}_{\mu\nu}$和$\omega(x)$的函数。这样的操作被称为在共形坐标系中表达几何量。

首先，我们考虑克氏符$\Gamma^\rho_{\mu\nu}=1/2g^{\rho\sigma}(\partial_\mu g_{\nu\sigma}+\partial_\nu g_{\sigma\mu}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$，它与逆度规以及度规的导数是线性的，那么考虑共形变换(1)可得，

$\begin{aligned} \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}\omega^2\bar{g}^{\rho\sigma}(\partial_\mu (\omega^{-2}\bar{g}_{\nu\sigma})+\partial_\nu (\omega^{-2}\bar{g}_{\sigma\mu})-\partial_\sigma (\omega^{-2}\bar{g}_{\mu\nu}))\\ &=\frac{1}{2}\bar{g}^{\rho\sigma}(\partial_\mu\bar{g}_{\nu\sigma}+\partial_\nu\bar{g}_{\sigma\mu}-\partial_\sigma\bar{g}_{\mu\nu})+\frac{1}{2}\omega^2\bar{g}^{\rho\sigma}(\bar{g}_{\nu\sigma}\partial_\mu\omega^{-2}+\bar{g}_{\sigma\mu}\partial_\nu\omega^{-2}-\bar{g}_{\mu\nu}\partial_\sigma\omega^{-2})\\ &=\bar{\Gamma}^\rho_{\mu\nu}-\omega^{-1}(\delta^\rho_\nu\nabla_\mu\omega+\delta^\rho_\mu\nabla_\nu\omega-g^{\rho\sigma}g_{\mu\nu}\nabla_\sigma\omega) \end{aligned}\tag{4}$

记

$C^\rho_{\phantom{1}\mu\nu}=\omega^{-1}(\delta^\rho_\nu\nabla_\mu\omega+\delta^\rho_\mu\nabla_\nu\omega-g^{\rho\sigma}g_{\mu\nu}\nabla_\sigma\omega)\tag{5}$

可以看出$C^\rho_{\phantom{1}\mu\nu}$是一个张量，同时

$\bar{\Gamma}^\rho_{\mu\nu}=\Gamma^\rho_{\mu\nu}+C^\rho_{\phantom{1}\mu\nu}\tag{6}$

同理可得黎曼张量在共形变换下为，

$\bar{R}^\rho_{\phantom{1}\sigma\mu\nu}=R^\rho_{\phantom{1}\sigma\mu\nu}+\nabla_\mu C^\rho_{\phantom{1}\nu\sigma}-\nabla_\nu C^\rho_{\mu\sigma}+C^\rho_{\phantom{1}\mu\lambda}C^{\lambda}_{\phantom{1}\nu\sigma}-C^\rho_{\phantom{1}\nu\lambda}C^\lambda_{\phantom{1}\mu\sigma}\tag{7}$

曲率张量为，

$\bar{R}_{\sigma\nu}=R_{\sigma\nu}+\nabla_\mu C^\mu_{\phantom{1}\nu\sigma}-\nabla_\nu C^\mu_{\phantom{1}\mu\sigma}+C^\mu_{\phantom{1}\mu\lambda}C^{\lambda}_{\phantom{1}\nu\sigma}-C^\mu_{\phantom{1}\nu\lambda}C^\lambda_{\phantom{1}\mu\sigma}\tag{8}$

标曲率为，

$\bar{R}=\omega^{-2}R-2(n-1)g^{\alpha\beta}\omega^{-3}(\nabla_\alpha\nabla_\beta\omega)-(n-1)(n-4)g^{\alpha\beta}\omega^{-4}(\nabla_\alpha\omega)(\nabla_\beta\omega)\tag{9}$