附录B-指数映射与黎曼正规坐标
Fu-Ming Chang Lv2
  2023-07-29 09:16:20 2023-07-29 09:16   2023-10-14 16:43:13    1.8k Words  8 Mins  

指数映射

测地线提供了一种映射方法：将点pp的切空间TpT_p映射到包含pp的流形的区域中，被称为指数映射。这个映射在这个区域中又定义了一组坐标，且自动是局域惯性系(在点pp的坐标x^μ\hat{x}^{\mu}附近满足g^μν(p)=ημν\hat{g}_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}且∂^σg^μν=0\hat{\partial}_{\sigma}\hat{g}_{\mu\nu}=0)。我们注意到，任意的一个切矢k∈Tpk\in T_p都定义了一个通过它的测地线[1]xμ(λ)x^\mu(\lambda)，其中kk是pp点的切矢且λ(p)=0\lambda(p)=0：

dxμdλ(λ=0)=kμ(1)\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}(\lambda=0)=k^\mu\tag{1}

对于测地线方程的初值问题如图所示，

geodesic

在测地线xμ(λ)x^\mu(\lambda)上，存在唯一的点使λ=1\lambda=1成立。我们定义在pp点的指数映射exp⁡p:Tp→M\exp_p:T_p\rightarrow M，

exp⁡p(k)=xν(λ=1)(2)\exp_p(k)=x^\nu(\lambda=1)\tag{2}

如图所示，对于每一个pp上的切矢量，指数映射都将其映射到相应测地线上仿射参数为11的点。

2023-07-30_11-19-13

对于一些在零矢量附近的切矢kμk^\mu，这个映射是良好定义的，事实上是可逆的。对于某些几何形状，同一个点的不同测地线可能会相交，此时映射exp⁡p\exp_p不再是双射。由于某些流形上总有两个点（设为pp点与测地线上的xν(λ=1)x^\nu(\lambda=1)点）无法被流形上的任何测地线连接，所以指数映射无法映射到全部流形上去，比如之后会提到的anti-de Sitter时空；同时由于测地线可能会到达流行的边界（奇点），所以映射的定义域可能无法包含整个切空间TpT_p，具有边界导致奇点的流形称为测地不完备(geodesically incomplete)。实际情况恰恰相反：我们定义奇点的最佳方式是将其定义为测地线出现 "终点 "的地方。奇点问题不仅仅是技术性的。在霍金和彭罗斯的“奇点理论”中，广义相对论中的时空，总是测地不完备的。比如广义相对论中最常用的两个例子：描述黑洞的施瓦西时空和描述均匀、各向同性的宇宙的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)时空，两者都具有重要的奇点。

黎曼正规坐标

我们接下来将使用指数映射去构造局域惯性坐标系。首先我们在TpT_p上找到一组基矢e^μ{\hat{e}_\mu}，使得度规的分量化为标准型，

g^μν=g(e^μ,e^ν)=ημν(3)\hat{g}_{\mu\nu}=g(\hat{e}_\mu,\hat{e}_\nu)=\eta_{\mu\nu}\tag{3}

这很容易做到，因为这是标准的线性代数的知识[2]。困难的是，我们希望找到一个坐标基矢在满足上述情况的条件下，使得度规的一阶导数为00。

我们进行如下的构造：对于任意的无限接近pp的qq点，都有唯一的一个测地线相连，且有唯一的参数λ\lambda使得[3]λ(p)=0,λ(q)=1\lambda(p)=0,\lambda(q)=1。在pp点的切矢量kk，可以被写成我们基矢的线性组合，即k=k^μe^μk=\hat{k}^\mu\hat{e}_\mu。我们定义在qq点的坐标为x^μ(q)=k^μ\hat{x}^\mu(q)=\hat{k}^\mu。换句话说，我们通过指数映射exp⁡p\exp_p映射到qq的切矢量kk的“投影”分量来定义坐标x^μ(q)\hat{x}^\mu(q),这样构造的坐标被称为在pp点的黎曼正规坐标。

接下来我么将会证明黎曼正规坐标满足∂^σg^μν(p)=0\hat{\partial}_\sigma \hat{g}_{\mu\nu}(p)=0。注意在切空间中的射线（对于固定的k^μ\hat{k}^\mu,可以表示为λk^μ\lambda\hat{k}^\mu），将会通过指数映射映射到测地线。因此在黎曼正规坐标中，测地线方程的解x^μ(λ)\hat{x}^\mu(\lambda)具有如下的形式，

x^μ(λ)=x^μ(q)=k′^μ=λk^μ(4)\hat{x}^\mu(\lambda)=\hat{x}^\mu(q)=\hat{k'}^\mu=\lambda\hat{k}^\mu\tag{4}

也即，对于任意通过pp的测地线都可以表达为(4)的形式。因此，我们可得

d2x^μdλ2=0(5)\frac{d^2\hat{x}^\mu}{d\lambda^2}=0\tag{5}

同时根据测地线方程以及(5)式，

d2x^μdλ2(p)+Γ^ρσμ(p)dx^ρdλ(p)dx^σdλ(p)=0d2x^μdλ2(p)=−Γ^ρσμ(p)k^ρ(p)k^σ(p)=0(6)\begin{aligned} \frac{d^2\hat{x}^\mu}{d\lambda^2}(p)+\hat{\Gamma}^\mu_{\rho\sigma}(p)\frac{d\hat{x}^\rho}{d\lambda}(p)\frac{d\hat{x}^\sigma}{d\lambda}(p)&=0\\ \frac{d^2\hat{x}^\mu}{d\lambda^2}(p)&=-\hat{\Gamma}^\mu_{\rho\sigma}(p)\hat{k}^\rho(p)\hat{k}^\sigma(p)=0 \end{aligned}\tag{6}

对于任意的k^ρ(p)\hat{k}^\rho(p)都成立，所以

Γ^ρσμ(p)=0(7)\hat{\Gamma}^\mu_{\rho\sigma}(p)=0\tag{7}

那么在点pp应用度规适配条件，

0=∇^σg^μν=∂^σg^μν−Γ^σμτg^τν−Γ^σντg^μτ=∂^σg^μν(8)\begin{aligned} 0&=\hat{\nabla}_\sigma\hat{g}_{\mu\nu}\\ &=\hat{\partial}_\sigma\hat{g}_{\mu\nu}-\hat{\Gamma}^\tau_{\sigma\mu}\hat{g}_{\tau\nu}-\hat{\Gamma}^\tau_{\sigma\nu}\hat{g}_{\mu\tau}\\ &=\hat{\partial}_\sigma\hat{g}_{\mu\nu} \end{aligned}\tag{8}

我们可以看到，黎曼正规坐标提供了局域惯性系的一种实现方式。但是，局域惯性系的实现不是唯一的，你可以找到很多的实现，但是它们与黎曼正规坐标所不同的是在度规g^μν\hat{g}_{\mu\nu}的二阶导数上，即坐标x^μ\hat{x}^\mu的三阶导数上。

最后我们来想一下，为什么exp⁡p\exp_p要称为指数映射？根据式(2)，映射左边是切矢量是关于坐标的导数，映射的右边是导数。我们可以回忆一下x=eλx=e^\lambda指数函数，它是边值问题

dxdλ=x,x(λ=0)=1(9)\frac{dx}{d\lambda}=x,x(\lambda=0)=1\tag{9}

的解。

  1. 测地线方程是一个二阶的常微分方程，而且满足初值：xμ(p),kμ=(dxμ/dλ)(p)x^{\mu}(p),k^\mu=(dx^\mu/d\lambda)(p)问题，唯一的决定一个解。 ↩︎

  2. 矩阵对角化后将基矢进行放缩。 ↩︎

  3. 对于仿射参数λ=aτ+b\lambda=a\tau+b在条件λ(p)=0,λ(q)=1\lambda(p)=0,\lambda(q)=1下可以唯一确定a,ba,b。 ↩︎

  1. 1. 指数映射
  2. 2. 黎曼正规坐标