附录A:闭形式与循环

在这里我们想要弄清楚形式的闭与形式的恰当是什么关系。流形与微分形式的相关内容可以参见：Chapter2 Manifold

链

为了描述流形上关于复杂区域的积分，我们考虑对重积分进行推广。

令$\omega$是$n$维流形$M$上的k-微分形式。$D$是$k$维欧氏空间$\mathbb{E}^k$中的一个有界凸$k$维多面体。如图所示：

“积分路径”的作用将由$M$的一个$k$维胞腔$\sigma$来承担，它可用$\sigma=(D,f,Or)$来表示：

1. $D\sub\mathbb{R}^k$是一个凸多面体；
2. $f:D\rightarrow M$是一个可微映射；
3. $Or$表示$\mathbb{R}^k$的一个定向，即区域的正方向.

我们可以定义k维胞腔上的积分：

k-形式$\omega$在$k$维胞腔$\sigma$上的积分，即相应的微分形式在$D$上的积分：

$\int_\sigma\omega=\int_Df^*\omega\tag{1}$

可以看出$\sigma\in M$，但是$f(D)$不一定是$M$的光滑子流形，它有可能“自交”，甚至可能化为一点。我们考虑由几段组成的积分路径，每一段可以按照不同的定向，可以不止一次地走过。高维的情况称为链。

流形$M$上的$n$维链包含了$M$上有限多个$n$维有向胞腔$\sigma_1,\dots,\sigma_r$和整数$m_1,\dots,m_r$（称为重数，可以理解为过了多少次，可为正为负为0）。链记作

$c_k=\sum_{i=1}^{r} m_i\sigma_i\tag{2}$

如图所示：

那么链可以表示为$c_2=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=(S_1+S_2+S_3,g,Or)$。

同样我们可以定义链的边缘。令$D$是k维欧氏空间$\mathbb{E}^k$的一个凸有向$k$维多面体，那么$D$的边缘是不同被分割的$(k-1)$维的面组成，也可以看作$\mathbb{E}^k$的一个（k-1）-链$\partial D$，定义如下，

链$\partial D$的胞腔$\sigma_i$，即多面体D的(k-1)-维面$D_i$以及将面嵌入$\mathbb{E}^k$的映射$f_i:D_i\rightarrow \mathbb{E}^k$，以及$D_i$的定向$Or_i$，重数为1，包含所有的胞腔的要素：

$\partial D=\sum\sigma_i,\sigma_i=(D_i,f_i,Or_i)\tag{3}$

因为链是由胞腔组合而成，所以我们需要找到胞腔的边缘。类比在$\mathbb{E}^k$上定义多面体的边缘，我们在流形$M$上定义胞腔的边缘。令$\sigma=(D,f,Or)$是流形$M$的一个k维胞腔，它的边缘是由胞腔$\sigma_i=(D_i,f_i,Or_i)$组成的(k-1)-链：$\partial \sigma=\sum\sigma_i$,$D_i$是$D$的(k-1)-维面，特别的$f_i$是映射$f:D\rightarrow M$在$D_i$上的限制。那么流形$M$上的k-维链$c_k$的边缘$\partial c_k$就是$\sigma_i$边缘按其重数求和：

$\partial c_k=\partial\sum(m_i\sigma_i)=\sum m_i\partial \sigma_i \tag{4}$

我们可以得到如下的结论：任意链的边缘的边缘为零：$\partial\partial c_k=0$。

Proof:

$\blacksquare$

对于微分形式在链上的积分，我们令$\omega^k$为$M$上的k-形式。形式$\omega^k$在链$c_k$上的积分定义为胞腔上的积分按重数求和：

$\int_{c_k}\omega^k=\sum m_i\int_{\sigma_i}\omega^k\tag{5}$

闭形式与循环

我们在矢量分析中，有过一下的结论：

一个不可压缩(且无源)流体过区域D的边缘的通量为0。

我们想要提出这个论断的高维类比。若矢量场$A$适合$divA=0$则为无源，而无源流体的高维类比称为闭形式。

流形$M$上的外形式$\omega$，若外微分为0，即满足$d\omega=0$，则称为闭形式。

那么，微分形式一定是闭的。在$3$维有向的欧氏空间$\mathbb{E}^3$，对于一个矢量场$A$，可以定义一个2-形式，$\omega_A$,满足：$(\omega_{A})_{\mu\nu}=A^{\rho}\epsilon_{\rho\mu\nu}$，那么对于无源矢量场$A$，$\nabla A=\partial_{\mu}A^{\mu}=0$，所以

$\begin{aligned} d\omega_A&=3\partial_{[\mu}(\omega_A)_{\nu\rho]}dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\otimes dx^{\rho}\\ &=3\partial_{[\mu}A^{\tau}\epsilon_{|\tau|\nu\rho]}dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\otimes dx^{\rho}\\ &=3\partial_{\alpha}A^{\tau}\epsilon_{\tau\beta\gamma}\delta^{[\alpha}_{\mu}\delta^{\beta}_{\nu}\delta^{\gamma]}_{\rho}dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\otimes dx^{\rho}\\ &=\partial_{\alpha}A^{\tau}\epsilon_{\tau\beta\gamma}\frac{\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\epsilon_{\mu\nu\rho}}{2}dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\otimes dx^{\rho}\\ &=\partial_{\tau}A^{\tau}\epsilon_{\mu\nu\rho}dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\otimes dx^{\rho}\\ &=0 \end{aligned}\tag{6}$

也即，$\omega_A$是闭的。根据斯托克斯公式

$\int_{\partial c}\omega=\int_cd\omega \tag{7}$

其中$c$是流形$M$上的任意一个$(k+1)-$链，$\omega$是$M$上的任意的$k-$形式。

闭形式$\omega^k$在任一$(k+1)$维链$c_{k+1}$的边缘上的积分为$0$:

$\int_{\partial c_{k+1}}\omega^k=0,若d\omega^k=0.\tag{8}$

另外一方面，我们可以构造一个不是微分的闭形式。取流形$M$为出去原点三维欧氏空间$\mathbb{E}^3$：$M=\mathbb{E}^3-{O}$，由矢量场$A=(1/r^2)e_r$的通量^[1]定义一个2-形式$\omega_A$。由于$div A=0$，所以我们定义的2-形式是闭的。同时，它在任一以$O$为心的球面上的通量为$4\pi$。我们接下来将会证明：一个形式的微分在球面上上的积分必为0。

接下来我们将看看什么是循环。

流形$M$上的循环就是指边缘为0的链。

上面球的有向表面就是一个循环。上面的由斯托克斯公式(7)，可以得到

一个形式的外微分在任意循环上的积分为0：

$\int_{c_{k+1}}d\omega^k=0，若\partial c_{k+1}=0\tag{9}$

所以，上述2-形式$\omega_A$不是任何1-形式的微分，不是恰当的。

那么$M$上是否存在不是微分的闭形式的存在，即形式$\omega^k$满足$d\omega^k=0$，但不是微分形式，这与$M$的拓扑性质有关。可以证明:

(庞加莱引理)：若$M$是矢量空间则其上每一个闭的k-形式都是某一个(k-1)-形式的外微分。

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1. 常矢量$\bold{v}$在由$\bold{\xi_1},\bold{\xi_2}$构成的平面上的通量是一个2-形式。 ↩︎