20230605 孤立子

孤立子

孤立子最初是由罗素观察水波发现的： “它（孤立波）以巨大的速度向前滚动，而将小船留在它后面. 这一水堆沿着水道继续行进并没有明显地改变其形伏或降低其速度。” 。在量子理论中，薛定谔方程可以很好的描写束缚态。而对于经典场论我们需要加入适当的非线性可以保证稳定的束缚态的存在，这种束缚态被称为孤立子。也就是说，孤立子是非线性方程的非耗散的解。孤立子解可分为两大类：拓扑孤立子与非拓扑孤立子。

拓扑孤立子

我们将会从一个具体的Sine-Gordon方程的例子来阐述拓扑孤立子。

拓扑孤立子的存在需要简并真空态，使得其在无穷远处的边界条件在拓扑上和物理的真空态不同。

什么意思呢？我们首先来看一下1+1维的Sine-Gordon方程的解。我们考虑一个经典场的拉式量

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^{\mu}\phi -V(\phi) \tag{1}$

其中$V(\phi)=\frac{1}{b^2}[1-\cos(b\phi)]\geq0$.场的能动量张量可写为

$\begin{aligned} T_{\mu\nu}& =\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial(\partial^\mu\phi)}\partial_\nu\phi-g_{\mu\nu}\mathcal{L}\\ &=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-g_{\mu\nu}\mathcal{L} \end{aligned}\tag{2}$

场的能量密度为

$\begin{aligned} \mathcal{H}=T_{tt}&=\partial_{t}\phi\partial_{t}\phi-\mathcal{L}\\ &=(\partial_{t}\phi)^2-\frac{1}{2}(\partial_{t}\phi)^2+\frac{1}{2}(\partial_{x}\phi)^2+V(\phi)\\ &=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2+\frac{1}{2}(\partial_x\phi)^2+V(\phi) \end{aligned}\tag{3}$

由欧拉-拉格朗日方程可得，运动方程

$\partial_\mu\partial^\mu\phi+\frac{\partial V}{\partial\phi}=\frac{\partial^2{\phi}}{\partial{t^2}}-\frac{\partial^2{\phi}}{\partial{x^2}}+\frac{1}{b}\sin(b\phi)=0\tag{4}$

这就是Sin-Gordon方程。为了得到行波解拟设$\phi(x,t)=f(x-vt)=f(\xi)$，
运动方程变为（CHECK）

$\begin{aligned} (v^{2} -1)\frac{d^{2}f}{d\xi^2}+\frac{1}{b} \sin(bf)=0 \\ (v^2-1)f''f'+\frac{1}{b}f'\sin(bf)=0\\ (v^2-1)\frac{1}{2}(f')^2=\frac{1}{b^2}\cos(bf)\\ f'=\pm\sqrt{\frac{2}{b^2(v^2-1)}\cos(bf)} \end{aligned}$

可以得到解为

$f(\xi)=\frac{4}{b}\arctan(e^{\pm(\gamma/\sqrt{b})\xi})\tag{5}$

其中$\gamma=(1-v^2)^{-1/2}$.

与此同时，对于Sine-Gordon方程，我们将会得到无穷多个常数解

$\phi=\frac{2\pi n}{b},n=0,\pm1,\pm2,\dots;\tag{6}$

此时的能量密度$\mathcal{H}=0(\mathcal{H}\ge0)$，处于真空态，但场值$\phi\neq0$，所以，Sine-Gordon方程拥有简并真空态（$0$能量的场构型）。
我们下面将构造一个场构型：我们要求当$x\rightarrow-\infty$时，$\phi$趋向于$V$的一个零点($n=0$真空态)；当$x\rightarrow+\infty$时，$\phi$趋向于一个不同的零点($n=1$简并真空态)。我们假定场的构型是静态的$(v=0)$，即要求$\partial\phi/\partial t=0$对于这样的稳态解，我们有

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial V}{\partial \phi}\tag{7}$

所以

$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2-V(\phi)=\mathcal{E}\tag{8}$

将$x$看作时间$t$，将$\phi$看作位置$x$， (8)式等价于一个经典粒子的能量守恒方程，如图所示

相当于开始$t=-\infty$时，粒子在$A$点处，我们给粒子一个小的扰动使其向右朝着$B$点运动，由于能量守恒，当$t=+\infty$时，粒子到达$B$点。那么如果我们将这一过程反过来实现，将会得到另一个解，我们称为反孤立子，两者具有相同的能量。

我们只要求边界处为简并真空态，并不要求整个系统都是真空态。

此静态解的能量为

$\begin{aligned} E&=\int\mathcal{H}dx\\ &=\int\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2+V(\phi)\right]dx\\ &=\int2V(\phi)dx\\ &=\int_0^{2\pi/b}\left[2V(\phi)\right]^{1/2}d\phi \end{aligned}\tag{9}$

可以看出积分是在$V(\phi)$两个零点$n=0,n=1$间做的

$\begin{aligned} E&=\frac{\sqrt{2}}{b}\int_0^{2\pi/b}\left[1-\cos(b\phi)\right]^{1/2}d\phi\\ &=\frac{\sqrt{2}}{b^2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos \alpha}d\alpha\\ &=\frac{2}{b^2}\int_0^{2\pi}\sin(\alpha/2)d\alpha\\ &=\frac{8}{b^2} \end{aligned}\tag{10}$

我们将势能$V(\phi)$展开，可得

$V(\phi)=\frac{1}{2}\phi^2-\frac{b^2}{4!}\phi^4+\dots,\tag{11}$

$\phi^4$开始产生非线性项，自作用，重新写为

$V(\phi)=\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4+\dots,\tag{12}$

其中$m$称为粒子质量，$\lambda$称为自相互作用耦合常数。此时(10)式可写为$E=8m^2/\lambda$，弱耦合不一定代表能量比较低。
对于场$\phi$我们有

$\partial_t\partial_x\phi-\partial_x\partial_t\phi=0\tag{13}$

可以定义守恒流

$J^\mu=\frac{b}{2\pi}\varepsilon^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\tag{14}$

可得$\partial_\mu J^{\mu}=0$，守恒荷$Q$为

$\begin{aligned} Q&=\int J^0dx\\ &=\frac{b}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\partial_x\phi dx\\ &=\frac{b}{2\pi}\left[\phi(+\infty)-\phi(-\infty)\right]\\ &=1 \end{aligned}\tag{15}$

会发现$J^\mu$的产生并不是来源于作用量在对称变换下不变，这里的守恒流与诺特流无关，
接下来我们可以谈谈解的稳定性。
我们来看一个类比：我们有一个无限长的线，线上等间隔的放有大头针，每一个大头针与相邻的大头针都有一个小弹簧连接，受重力影响下，基态对应于每一个大头针都会垂直悬挂，而我们的孤子解对应于如图所示的情况，

如果我们想要使图中所示的状态变到基态(垂直悬挂的状态)，我们就需要一半的且无穷多的大头针发生翻转，也就意味着我们需要半无限多的能量，其实还是无限多的能量，所以孤子是稳定的。

非拓扑孤立子

对于非拓扑孤立子，其无穷远处的边界条件和平庸真空态相同，无需要求简并真空态，其稳定性由相关场论的内部对称性(诺特荷)来保证。

根据前面对拓扑孤立子描述，我们知道，不同于拓扑孤立子的对无穷远边界处简并真空态的要求，非拓扑孤立子要求无穷远处的边界条件为平庸真空态，也即$\phi\rightarrow0$。我们来看看如何得到一个非拓扑孤立子解。
我们接下来考虑一个$U(1)$对称性的复标量场理论，系统的拉式量可以写为，

$\mathcal{L}=\partial_\mu\Phi^*\partial^{\mu}\Phi-U(\Phi\Phi^*)\tag{16}$

其中的$U(\phi)\stackrel{\phi\rightarrow0}{\longrightarrow}\mu^2\phi^2$，且我们要求$\phi=0$为$U(\phi)$的最小值，这总可以做到。$U(1)$对称性给出的守恒流为

$j^\mu=\frac{1}{i}(\Phi^*\partial^{\mu}\Phi-\Phi\partial^{\mu}\Phi^*)\tag{17}$

守恒荷

$\begin{aligned} Q&=\int j^0 dx^3\\ &=-i\int \Phi^*\dot{\Phi}-\Phi\dot{\Phi}^*d^3x \end{aligned}\tag{18}$

能动量张量

$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\Phi\partial_\nu\Phi^*+\partial_\nu\Phi\partial_\mu\Phi^*-g_{\mu\nu}\mathcal{L}\tag{19}$

可以得到能量密度为

$\begin{aligned} \mathcal{H}=T_{00}&=2\partial_0\Phi\partial_0\Phi^*-\mathcal{L}\\ &=\partial_0\Phi\partial_0\Phi^*+\nabla\Phi\nabla\Phi^*+U(\Phi\Phi^*) \end{aligned}\tag{20}$

我们看看场$Q$守恒时，能量最小值对场的形式有什么要求？
我们设$\Phi(t,r)=\phi_1(t,r)+i\phi_2(t,r)$，可以得到

$\begin{aligned} T_{00}&=(\dot{\phi}_1+i\dot{\phi}_2)(\dot{\phi}_1-i\dot{\phi}_2)+(\partial_r\phi_1+i\partial_r\phi_2)(\partial_r\phi_1-i\partial_r\phi_2)+U(\phi_1^2+\phi_2^2)\\ &=\dot{\phi}_1^2+\dot{\phi}_2^2+(\partial_r\phi_1)^2+(\partial_r\phi_2)^2+U(\phi_1^2+\phi_2^2) \end{aligned}$

所以系统的能量可以表示为

$\begin{aligned} E&=\int T_{00}dx^3\\ &=\int \dot{\phi}_1^2+\dot{\phi}_2^2+(\partial_r\phi_1)^2+(\partial_r\phi_2)^2+U(\phi_1^2+\phi_2^2)d^3x \end{aligned}$

我们期望找到在守恒荷$Q$固定下的最小的能量状态的场满足什么条件。所以我们需要求解一个条件极值问题：

$E-\omega Q=\int \dot{\phi}_1^2+\dot{\phi}_2^2+(\partial_r\phi_1)^2+(\partial_r\phi_2)^2+U(\phi_1^2+\phi_2^2)d^3x-2\omega\int \phi_1\dot{\phi}_2-\phi_2\dot{\phi}_1 d^3x\tag{21}$

其中$\omega$为拉式乘子。可以得到，

$\begin{aligned} \dot{\phi}_1+\omega\phi_2&=0\\ \dot{\phi}_2-\omega\phi_1&=0 \end{aligned}\tag{22}$

也即我们可以将场$\Phi$写为

$\boxed{\Phi(t,r)=\phi(r)e^{i\omega t}}\tag{23}$

其中$\phi=\sqrt{\phi_1^2+\phi_2^2}$
场的能量

$\begin{aligned} E=4\pi \int^{\infty}_{0}drr^2(\omega^2\phi^2+\phi'^2+U(\phi)) \end{aligned}$

这样我们可以由欧拉-拉格朗日方程得到场的运动方程。

$\phi''+\frac{2}{r}\phi'-\frac{1}{2}\frac{dU}{d\phi}+\omega^2\phi=0\tag{24}$

两边同乘$\phi'$，可以写为，

$\frac{1}{2}\phi'^2+\frac{1}{2}\omega^2\phi^2-\frac{1}{2}U(\phi)=\mathcal{E}-2\int^r_0\frac{\phi'^2}{\widetilde{r}}d\widetilde{r}\tag{25}$

我们将场$\phi$看作位置$x$，将$r$看作时间$t$，那么$V(\phi)=\frac{1}{2}\omega^2\phi^2-\frac{1}{2}U(\phi)$是有效势能，而积分常数$\mathcal{E}$可以看作有效能量，这是一个经典的耗散系统。
这个解如何找呢？
我们先看一下当$r\rightarrow\infty$时，真空态要求$\phi\rightarrow0$，我们总可以做到使$U(\phi\rightarrow0)\rightarrow0$，其实$U(\phi\rightarrow0)\rightarrow\mu^2\phi^2$，所以$U'(\phi)\sim U''(0)\phi$，运动方程(24)可化为

$\phi''+\frac{2}{r}\phi'-\frac{1}{2}U''(0)\phi+\omega^2\phi=0\tag{26}$

如果$\omega^2\geq\frac{1}{2}U''(0)$，我们的边界条件将会正比$e^{ikr}$，但我们要的是孤子解，束缚态解。所以我们得到的第一个约束为$\omega^2<\frac{1}{2}U''(0)$也即$V''(0)=\omega^2-\frac{1}{2}U''(0)<0$，此时的无穷远处的边界条件可以写为

$\phi(r)=A\frac{e^{-\sqrt{\frac{1}{2}U''(0)-\omega^2}}}{r}\tag{27}$

在原点处的边界条件，

$\phi(r)=\phi_0+\frac{1}{6}(\frac{1}{2}U'(\phi_0)-\omega^2\phi_0)r^2\tag{28}$

其中$\phi(r\rightarrow0)=\phi_0$
如图所示

因为在$r\rightarrow\infty$时，$\phi\rightarrow0$。也即，经过无穷长的时间后粒子最终停在$\phi=0$处。我们假设在$r\rightarrow0$时，$\phi\rightarrow\phi_0$，也即起始$t=0$时，粒子在开始某一个位置$\phi_0$，当我们释放粒子时， 一方面，如果$V(\phi_0)<0$,粒子的初始时刻的总有效能量总是负的，因此粒子将不能最终停在0能量处。另外一方面，如果$\phi_0$非常接近$V(\phi)$的最大值，当粒子运动时，由于能量太大，粒子将会冲过$\phi(\infty)$，总的有效能量为0的点。所以一定存在这么一个$\phi_0$值，使得粒子刚好停在$\phi(\infty)$处。