S4-反对称张量的表示

反对称张量

$T_{[\mu_{1}\mu_{2}\dots\mu_{n}]}=\frac{1}{n!}\sum_\nu(-1)^{\tau(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n)}T_{\alpha_1\dots\alpha_n}$

我们想对反对称张量寻找一个显式的表达。
由式

$\epsilon^{\mu_1\dots\mu_j\mu_{j+1}\dots\mu_n}\epsilon_{\nu_1\dots\nu_j\mu_{j+1}\dots\mu_n}=(-1)^sj!(n-j)!\delta_{\nu_1}^{[\mu_1}\dots\delta_{\nu_j}^{\mu_j]}$

所以我们有

$\begin{aligned} T_{[\nu_{1}\nu_{2}\dots\nu_{n}]}=&\delta_{\nu_1}^{[\mu_1}\dots\delta_{\nu_n}^{\mu_n]}T_{\mu_{1}\mu_{2}\dots\mu_{n}} \\ =&\frac{(-1)^s}{n!}\epsilon^{\mu_1\dots\mu_n}\epsilon_{\nu_1\dots\nu_n}T_{\mu_{1}\mu_{2}\dots\mu_{n}} \end{aligned}$

其中$\epsilon^{\mu_1\dots\mu_n}$为levi-civita symbol.化为张量表达为

$\varepsilon^{\mu_1\dots\mu_n}=\frac{1}{\sqrt{\lvert g \rvert}}\epsilon^{\mu_1\dots\mu_n}\\\varepsilon_{\nu_1\dots\nu_n}=\sqrt{\lvert g \rvert}\epsilon_{\nu_1\dots\nu_n}$

所以

$T_{[\nu_{1}\nu_{2}\dots\nu_{n}]}= \frac{(-1)^s}{n!}\varepsilon^{\mu_1\dots\mu_n}\varepsilon_{\nu_1\dots\nu_n}T_{\mu_{1}\mu_{2}\dots\mu_{n}}$