Lecture2-曲面的结构方程
Fu-Ming Chang Lv2
  2024-02-20 22:54:39 2024-02-20 22:54   2024-02-20 22:58:02    1.7k Words  9 Mins  

曲面的自然标架的运动方程表明自然标架运动由第一基本形式和第二基本形式的系数完全确定。我们将会进一步研究曲面第一、

第二基本形式系数之间的关系。

对于任意的光滑函数ff的二阶偏导数可交换次序，即,

∂2f∂uα∂vβ=∂2f∂vβ∂uα(1)\frac{\partial^2f}{\partial u^\alpha \partial v^\beta}=\frac{\partial^2f}{\partial v^\beta\partial u^\alpha}\tag{1}

对于向量值函数，每一个分量都是标量函数，所以对r,rα,n\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{n}也满足，即，

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\alpha}\right) &= \frac{\partial}{\partial u^\alpha}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\beta}\right),\tag{2}\\ \frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}\right) &=\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma}\right),\tag{3}\\ \frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\alpha}\right) &= \frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\alpha}\right).\tag{4} \end{align*}

因为r,rα,n\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}_\alpha,\boldsymbol{n}满足曲面的运动方程，我们可以得到，rαβ=rβα\boldsymbol{r}_{\alpha\beta}=\boldsymbol{r}_{\beta\alpha}，相当于Γαβγ,bαβ\Gamma^\gamma_{\alpha\beta},b_{\alpha\beta}关于指标α,β\alpha,\beta对称。同时可以得到，

∂∂uγ(∂rα∂uβ)=∂∂uγ(Γαβξrξ+bαβn)=∂Γαβξ∂uγrξ+Γαβξrξγ+∂bαβ∂uγn+bαβ∂n∂uγ=∂Γαβξ∂uγrξ+Γαβξ(Γξγηrη+bξγn)+∂bαβ∂uγn+bαβ(−bγξrξ)=(∂Γαβξ∂uγ+ΓαβηΓηγξ−bαβbγξ)rξ+(Γαβξbξγ+∂bαβ∂uγ)n(5)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\alpha}}{\partial u^\beta}\right) &= \frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\Gamma^\xi_{\alpha\beta}\boldsymbol{r}_\xi+b_{\alpha\beta}\boldsymbol{n}\right)\\ &= \frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\boldsymbol{r}_\xi+\Gamma^\xi_{\alpha\beta}\boldsymbol{r}_{\xi\gamma}+\frac{\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\boldsymbol{n}+b_{\alpha\beta}\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\gamma}\\ &= \frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\boldsymbol{r}_\xi+\Gamma^\xi_{\alpha\beta} \left( \Gamma^\eta_{\xi\gamma}\boldsymbol{r}_{\eta}+b_{\xi\gamma}\boldsymbol{n}\right) +\frac{\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\boldsymbol{n}+b_{\alpha\beta}(-b^\xi_\gamma\boldsymbol{r}_{\xi})\\ &=\left(\frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta} \Gamma^\xi_{\eta\gamma} -b_{\alpha\beta}b^\xi_\gamma\right)\boldsymbol{r}_{\xi}+\left(\Gamma^\xi_{\alpha\beta}b_{\xi\gamma}+\frac{\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\right)\boldsymbol{n} \end{aligned}\tag{5}

利用运动方程可得，

∂∂uβ(∂rα∂uγ)=∂Γαγξ∂uβrξ+Γαγξ(Γξβηrη+bξβn)+∂bαγ∂uβn+bαγ(−bβξrξ)=(∂Γαγξ∂uβ+ΓαγηΓηβξ−bαγbβξ)rξ+(Γαγξbξβ+∂bαγ∂uβ)n(6)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma}\right) &=\frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}\boldsymbol{r}_\xi+\Gamma^\xi_{\alpha\gamma}\left(\Gamma^\eta_{\xi\beta}\boldsymbol{r}_\eta+b_{\xi\beta}\boldsymbol{n}\right)+\frac{\partial b_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}\boldsymbol{n}+b_{\alpha\gamma}\left(-b^\xi_\beta\boldsymbol{r}_\xi\right)\\ &=\left(\frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma^\xi_{\eta\beta}-b_{\alpha\gamma}b^\xi_\beta\right)\boldsymbol{r}_\xi+\left(\Gamma^\xi_{\alpha\gamma}b_{\xi\beta}+\frac{\partial b_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta} \right) \boldsymbol{n} \end{aligned}\tag{6}

根据偏导的交换性，可得式(3)与(4)是相等的，同时rξ\boldsymbol{r}_\xi与n\boldsymbol{n}是线性无关的，即

∂Γαβξ∂uγ+ΓαβηΓηγξ−bαβbγξ=∂Γαγξ∂uβ+ΓαγηΓηβξ−bαγbβξΓαβξbξγ+∂bαβ∂uγ=Γαγξbξβ+∂bαγ∂uβ(7)\begin{aligned} \frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta} \Gamma^\xi_{\eta\gamma} -b_{\alpha\beta}b^\xi_\gamma &= \frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma^\xi_{\eta\beta}-b_{\alpha\gamma}b^\xi_\beta\\ \Gamma^\xi_{\alpha\beta}b_{\xi\gamma}+\frac{\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma} &=\Gamma^\xi_{\alpha\gamma}b_{\xi\beta}+\frac{\partial b_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta} \end{aligned}\tag{7}

​ 将运动方程代入式(4)式，同样可得方程，

∂bβξ∂uγ−∂bγξ∂uβ=−bβηΓηγξ+bγηΓηβξ(8)\frac{\partial b^\xi_\beta}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b^\xi_\gamma}{\partial u^\beta}=-b^\eta_\beta\Gamma^\xi_{\eta\gamma}+b^\eta_\gamma\Gamma^\xi_{\eta\beta}\tag{8}

与式(7)等价。

至此，我们知道曲面的第一、第二基本形式的系数(gαβ),(bαβ)(g_{\alpha\beta}),(b_{\alpha\beta})满足式(5,6)式。方程(5)称为曲面的Gauss方程，方程(6)称为曲面的Codazzi方程，两者合称为Gauss-Codazzi方程，称为曲面的结构方程。

​ 由于α,β,γ,ξ=1,2\alpha,\beta,\gamma,\xi=1,2，所以Gauss方程和Codazzi方程是两组方程。Gauss-Codazzi方程形式上复杂，但是Gauss方程只有一个独立方程，Codazzi方程有两个独立的方程[1]。为了说明这件事，我们引入黎曼记号，

Rδαβγ=gδξ(∂Γαβξ∂uγ−∂Γαγξ∂uβ+ΓαβηΓηγξ−ΓαγηΓηβξ)(9)R_{\delta\alpha\beta\gamma} =g_{\delta\xi}\left( \frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma^\xi_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta} \Gamma^\xi_{\eta\gamma}-\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma^\xi_{\eta\beta} \right)\tag{9}

将Gauss方程改写为，

\begin{align*} R_{\delta\alpha\beta\gamma} &= g_{\delta\xi}\left(b_{\alpha\beta}b^\xi_\gamma-b_{\alpha\gamma}b^\xi_\beta\right)\\ &= -\left(b_{\alpha\beta b_{\delta}}-b_{\alpha\gamma}b_{\delta\beta} \right)\tag{10} \end{align*}

为了找到黎曼记号的对称性，我们定义第二类克氏符Γγαβ=gγξΓαβξ\Gamma_{\gamma\alpha\beta}=g_{\gamma\xi}\Gamma^\xi_{\alpha\beta}，根据克氏符的定义，代入(9)式可得，

\begin{align*} R_{\delta\alpha\beta\gamma} &= \frac{\partial \Gamma_{\delta\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma_{\delta\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\delta\eta}}{\partial u^\gamma}\Gamma^\eta_{\alpha\beta}+\frac{\partial g_{\delta\eta}}{\partial u^\beta}\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\eta\gamma}-\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma_{\delta\eta\beta}\\ &= \frac{\partial \Gamma_{\delta\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma_{\delta\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\Gamma^\eta_{\alpha\beta} \left(\Gamma_{\delta\eta\gamma}-\frac{\partial g_{\delta\eta}}{\partial u^\gamma} \right)-\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\left(\Gamma_{\delta\eta\beta}-\frac{\partial g_{\delta\eta}}{\partial u^\beta} \right)\tag{11} \end{align*}

根据第二类克氏符的定义，可得，

Rδαβγ=12(∂2gδβ∂uγ∂uα−∂2gαβ∂uγ∂uδ−∂2gδγ∂uβ∂uα+∂2gαγ∂uβ∂uδ)−ΓαβηΓηδγ+ΓαγηΓηδβ(12)R_{\delta\alpha\beta\gamma}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2 g_{\delta\beta}}{\partial u^\gamma \partial u^\alpha}-\frac{\partial^2 g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma \partial u^\delta}-\frac{\partial^2 g_{\delta\gamma}}{\partial u^\beta \partial u^\alpha}+\frac{\partial^2 g_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta \partial u^\delta} \right)-\Gamma^\eta_{\alpha\beta}\Gamma_{\eta\delta\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma_{\eta\delta\beta}\tag{12}

也即黎曼符号满足，

Rδαβγ=−Rαδβγ=−Rδαγβ=Rβγδα(13)R_{\delta\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\delta\beta\gamma}=-R_{\delta\alpha\gamma\beta}=R_{\beta\gamma\delta\alpha}\tag{13}

根据指标的对称性，Gauss方程中只有一个独立的方程。

  1. 黎曼张量在22维空间下的独立的分量。 ↩︎