S1-多项式系数

随记的内容无任何的正确性可言，就只是有了想法记了下来。

我们知道当多项式

$k_0+k_1x+k_2x^2+k_3x^3=0\tag{S1-1}$

对于任意的x成立时，我们可以得到

$k_0=k_1=k_2=k_3=0\tag{S1-2}$

Q:那具体的过程或者考虑是什么？当然你可以将${1,x^1,x^2,x^3\dots}$看作是一组基^[1]

我们不妨带入$x=1,2,3,4$得

$\begin{cases} k_01^0 +k_11+k_21^2+k_31^3=0\\\tag{S1-3} k_02^0+k_12+k_22^2+k_32^3=0\\ k_03^0+k_13+k_23^2+k_33^3=0\\ k_04^0+k_14+k_24^2+k_34^3=0\\ \end{cases}$

可以看出方程组(3)的系数矩阵为

$A=\tag{S1-4} \begin{bmatrix} 1^0 & 1^1 & 1^2 & 1^3\\\\ 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3\\\\ 3^0 & 3^1 & 3^2 & 3^3\\\\ 4^0 & 4^1 & 4^2 & 4^3 \end{bmatrix}$

可以看出$|A|$是范德蒙行列式，且$|A|\ne0$
所以方程组(3)仅有零解(2).

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1. 线性独立的约束; ↩︎